메비우스(Möbius) 띠의 수학 신비

좁고 긴 직사각형 종이의 양쪽 끝을 절반(180°) 돌려서 서로 연결하면 뫼비우스의 띠가 된다. 시작점과 마지막 점이 없으며, 양면이 있어 보이지만 한쪽 면만 있는 뫼비우스의 띠는 로마 시대인 3세기경에 이미 알려져 있었다. 그러나 이를 수학적으로 처음 연구한 사람은 독일의 수학자 리스팅(Johan Listing 1808-1882)과 뫼비우스(August Möbius 1790-1868)였다. 뫼비우스의 띠에는 반세기 동안 수학자들이 정답을 찾지 못한 숙제가 하나 있다. 그것은 “일정한 폭을 가진 띠로 가장 짧은 뫼비우스 띠를 만들었을 때, 띠의 길이는 얼마인가?”하는 문제였다.

다수의 수학자들은 뫼비우스의 띠를 여러 형태로 만들어 위상기하학(位相幾何學 topology)이라는 분야에서 연구를 해왔다. 산업에서 실용되기도 하는 이 띠는 표면과 내면의 구별이 없다.

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뫼비우스 띠를 따라가는 개미는 아무리 걸어도 끝이 없는 길을 가게 된다. 수학자들은 매우 단순한 의문 하나를 풀어보려고 오래도록 생각했다. 일정한 폭을 가진 띠로 가장 짧은 뫼비우스 띠를 만들면 띠의 길이는 얼마일까?

뫼비우스 띠를 만들 때, 띠의 형태가 좁고 길면 띠의 끝을 반 바퀴 휘어서 연결하기가 쉽다. 그러나 같은 길이이더라도 띠의 폭이 넓어지면 휘어 붙이기가 어려워진다. 점점 넓은 폭을 가진 띠의 양 끝을 붙여가면 사진처럼 되었다가 나중에는 연결이 불가능해진다.

현실적으로 가장 짧은 뫼비우스의 띠는 아무리 솜씨가 좋아도 만들 수 없다. 그러나 그것이 가능하다고 가정할 때, 일정한 폭을 가진 밴드로 가장 짧은 뫼비우스 띠를 완성한다면 밴드의 길이는 얼마인가? 이 질문의 수학적 답은 √3의 값 1.73, 즉 폭의 1.73배 길이에 가까운 밴드일 것이라고 생각했다.

​이론상으로, 최단 뫼비우스 띠를 만들자면 밴드(종이)가 무한히 얇아야 하고, 접기 편하도록 무한히 부드러워야 하며, 조금도 늘어나지 않아야 할 것이다. 이 문제를 가지고 수학자들은 1977년부터 연구를 해왔지만 쉽게 증명하지 못했다. 이런 와중에 어떤 수학자는 최단 뫼비우스 띠는 파이(π) 값을 2로 나눈 수 1.57보다는 커야 한다고도 했다.​

새로운 계산

미국 브라운 대학의 수학자 슈왈츠(Richard Schwartz) 교수는 컴퓨터 프로그램으로 답을 풀어 그 결과를 2021년에 나온 학술지 <Geometriae Dedicata>에 발표했다. 종이접기를 취미로 즐기던 슈왈츠 교수는 “최단 뫼비우스 띠의 길이는 √3의 값이 아니라, 그에 가까운 1.69이다.”라고 발표했다.​

슈왈츠 교수는 이후에도 이 문제에 의문을 품고 여러 형태의 뫼비우스 띠를 만들어보면서 연구를 계속하던 중, 과거의 연구에 약간 착오가 있었던 것을 발견했다. 그는 컴퓨터 프로그램을 다시 만들어 문제를 푼 결과, 그 값이 √3보다 크다는 것을 증명하여, 그 결과를 2023년 8월 24일에 발행된 학술지 <arXiv.org>에 발표했다.

실험으로 뫼비우스 띠를 만들어 중간을 따라 2등분을 해보자. 어떤 모양이 되는가? 다음에는 3등분을 해보자. 사진과 같은 형태의 뫼비우스 띠가 될 것이다.

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6각형이 된 뫼비우스 띠

종이 테이프가 아니라 네모진 물질로 만든 입체 뫼비우스 띠(막대)이다.

뫼비우스 띠의 형태는 조각품이 되고 건축물이 되기도 한다.

뫼비우스 기하학을 응용한 다양한 영상이 만들어지고 있다.

동력 전달 축(풀리) 사이를 연결하는 벨트는 뫼비우스 띠 형태로 만든다. 벨트의 양면이 계속 돌기 때문에 한쪽 면만 마모되지 않아 벨트의 수명이 길어지며, 벨트가 돌아가는 동안 잘 벗겨지지 않는다. 자기(磁氣) 테이프에 소리를 녹음했던 구식 카세트 테이프는 뫼비우스 띠의 원리로 양면 녹음하여 소리를 재생시켰다.​

슈왈츠 교수가 최근 뫼비우스 띠의 수학적 의문을 다시 설명했지만, 아직도 약간의 의문은 남아 있다고 한다. 수학에는 답을 찾지 못한 숙제들이 다수 알려져 있다. 그중에는 12 × 7 규격의 직사각형 종이 끝을 붙여 뫼비우스의 띠를 만들 수 있는가? 하는 문제도 있다. – YS​

참고문헌

Preprint:​ ​​R.E. Schwartz. The optimal paper Moebius band. arXiv:2308.12641. Submitted August 24, 2023.

Journal:​ ​​R.E. Schwartz. An improved bound on the optimal paper Moebius band. Geometriae Dedicata. Vol. 215, December 2021,